2TX Wiskunde voor informatici - deel 2

Uit Diana's examenwiki

Algemeen

J. Van Hee

Geeft dus het stuk Wiskunde. Bij hem kan je ook een werkstukje maken over landschappen, dan hoef je geen examen te doen. Normaal zijn het 2 vragen op het examen en een beetje mondeling.

Het is beter dat je het werkje maakt, je kan gebruik maken van alles wat je vindt op het net en kan veel punten verdienen.

Januari 2013 (G. Jonge)

Geen scilab, geen rekenmachine, enkel pen en papier

  • 1. Bereken de determinant (4x4 matrix)
  • 2. Maak de samengestelde matrix van
    • Een spiegeling over de X-as
    • Een schaalvergroting van factor 5 voor X en voor factor 3 voor Y
  • 3. Simplex methode - Minimaliseer (niet-standaard vorm)
    • Maak het starttabel
    • Welke pivot kies je als eerst en waarom?
    • Pivoteer naar volgende tabel
    • Welke pivot kies je nu en waarom?
    • Hier is de eindtabel, wat kan je hiervan aflezen
  • 4. Je kreeg 3 tabellen, een starttabel, een eindtabel en een P-tabel voor het algoritme van Floyd
    • Kan je van 2->6, zoja hoe en hoeveel stappen?
    • Kan je van 6->2, zoja hoe en hoeveel stappen
  • 5. Gaus-methode
    • Werk volledig uit en dan een probleemstelling

Januari 2012 (J. Van Hee)

Alles in scilab programmeren, oefening klaar dan komt hij die met u overlopen

1.Simplexmethode

 -Schrijf de pivoteer functie
 -Gebruik deze om een minimalisatieprobleem op te lossen
 (waren 4 vgl en 3 onbekenden => 5x9 matrix
 (niet-standaardmethode => Omvormen naar M = -m (dus eerst vermenigvuldigen met -1 en teken omdraaien)
 -Begintableau en eindtableau geven
 -Alle variabelen geven (die verschillende soorten)

2.Determinanten

 -Schrijf het algoritme van Laplace uit
 -Gebruik om deze om de determinant van een 5x5 matrix te berekenen
 -Van welke O is dit? (O(n!), waarom: recursief werken tot ge uitkomt bij een 1x1 matrix
 (Hij vroeg: Als mijn programma er 1sec over doet om een 10x10 determinant te berekenen, hoe lang doet hij er dan over om een 11x11 te berekenen => *11)

3.Floyd

 -Schrijf zowel het kortstepad algoritme als het toonweg algoritme
 -Gebruik deze om van een netwerk (9 knooppunten) de kotste paden te vinden. (9*9 = 81 elementen, dus oppassen dat ge er geen verkeerd intypt :( )
 -Wat is het langste pad (dus het langste korte pad) = grootste element uit die ene matrix
 -Gebruik de toonpad methode om dit pad te reconstrueren
 (Je moet dat ook kunnen uitleggen adhv dat voorbeeld, dus daarvoor moet je in die pointermatrix van A naar B gaan)


Januari 2012 (M. Ausseloos)

Schriftelijk:

  1. Vragen i.v.m. transformatiematrices
    1. Je krijgt de transformatie matrix en je moet zeggen wat die doet.
    2. Je moet de transformatie matrix geven voor een draaing rond de oorsprong van 60° in wijzerzin, de elementen moeten in breuken of gehele getallen staan (dus je moet weten wat de cos(60°) enzo zijn.)
  2. Geef het bewijs dat iedere matrix maar 1 unieke inverse heeft.
  3. Een boer wil kippen en konijnen kweken. Hij wilt maximaal 16 dieren. Hij wilt maximaal 10 kippen. Hij heeft een totaal budget van 180 euro, de winst per kip is 10 en per konijn 20 euro. De kosten per kip zijn 5 en per konijn 15 euro.
    1. Gebruik de simplex methode om de maximale winst te berekenen en het aantal kippen / konijnen dat hij daarvoor moet kweken.
    2. Welke variabele geeft aan hoeveel hij nog over heeft van zijn budget?
  4. Je kreeg een stelsel.
    1. Bereken de (P)LU van de coëfficientenmatrix.
    2. Bereken zo efficient mogelijk de determinant van die coëfficientenmatrix.
    3. Gebruik Cramer om het stelsel op te lossen.
  5. Je krijgt een gerichte en gewogen graaf.
    1. Gebruik het algoritme van Dijkstra om het kortste pad vanaf punt G naar elk ander punt te bepalen.
    2. Maak een lijst van elk punt, het pad dat hij aflegd en het gewicht vanuit punt G naar dat punt.

Mondeling (ging heel snel):

  1. Waaraan moeten twee matrices aan voldoen om ze te vermenigvuldigen? (kolommen A = rijen B)
  2. 2 vrienden berekenen allebei een matrix, de ene doet A*B en de ander doet B*A, ze komen een verschillend resultaat uit, hebben ze een fout gemaakt?
  3. Ze berekenen nu elk de determinant van hun uitgekomen matrix, de determinant verschilt, hebben ze een fout gemaakt?
  4. Je wil 3 transformaties uitoefenen op een punt, hoe ga je tewerk? Hoe noemt het resultaat?
  5. Je krijgt een verbindingsmatrix en je moet zeggen of die graaf gericht is of niet (veel enen en nullen).

Januari 2012 (M. Ausseloos)

1. Vraag i.v.m. transformatiematrices. Je krijgt de punten/ coördinaten van een L-vormige figuur. A. Schrijf een transformatiematrix die 2 transformaties in eens kan uitvoeren. Je moet de figuur draaien over een hoek van 90 graden, tegen de wijzers in. Vervolgens spiegelen over de Y-as. B. Teken nu je resultaat en je oorspronkelijke figuur in een assenstelsel.

2. Bewijs dat det(A ^ -1) = 1 / det(A) + geef hierbij de nodige uitleg.

Je begint met het feit dat een matrix A maal zijn inverse gelijk is aan eenheidsmatrix (I).

A * A^-1 = I Je neemt van beide delen de determinant. det('A * A^-1) = det(I) De determinant van een eenheidsmatrix = 1, aangezien dit een driehoeksmatrix is met op de hoofddiagonaal allemaal 1-en (en de determinant van een driehoeksmatrix is het product van de getallen op de hoofddiagonaal). Je weet ook volgens een geziene formule dat det(A * B) = det(A) * det(B). Hieruit haal je dus: det(A) * det (A^-1) = 1 Nu nog het juiste lid van plaats verwisselen en je bekomt: det(A ^ -1) = 1 / det(A)

3. PLU-factorisatie. Een toepassing zoals reeds gezien in verschillende labo's en lessen.

4. Je krijgt een matrix. Bereken hiervan de determinant + leg hoe je tot deze rekeningen komt, stap voor stap. Telkens dus ontwikkelen naar de meest 'makkelijke' rij ... Een toepassing zoals reeds gezien in verschillende labo's en lessen.

5. Bereken het kortste pad in het netwerk volgens algoritme van Dijkstra. Een toepassing zoals reeds gezien in verschillende labo's en lessen.

Januari 2011 (Jan Smans)

1.

1 je krijgt een figuur op papier
2 teken deze figuur in scilab (hiervoor moet je gewoon plot2d gebruiken en een matrix ingeven)
3 draai deze over een hoek van 110° (in wijzerzin) = T1
4 spiegel deze over de eerste bissectrice = T2
5 vergroot de figuur met een vergroting van 3 op de x-as en 2 op de y-as = T3
6 maak Ts: de 3 bovenstaande transformatiematrixen samenvoegen dus

2.

1 Schrijf een functie in scilab om te pivoteren over een bepaalde rij: pivoteer(M,rij,kolom)
2 Een maximumprobleem: Los deze op met behulp van de functie pivoteer(M,rij,kolom) die je net geschreven hebt

Mondeling:

Als je klaar bent met een oefening komt de leerkracht tot bij u.
Hij stelt een paar vraagjes over de oefeningen zoals bijvoorbeeld bij oefening 1.3 moet je sin en cos gebruiken, hij vraagt hoe je hieraan komt...
Idem voor oefening 2.

September 2010

Herexamen (mondeling uitleggen):


1. Floyd in scilab.

2. Simplex met maximumprobleem: pivotfunctie in scilab en daarmee eindtableau en resultaat vinden

Januari 2010

Door omstandigheden is het een volledig schriftelijk examen geworden deze keer, met 3 ipv 2 vragen.

Reeks 1B (07/01/10 8u30, Van Hee)

  1. Transformatiegedoe
    Gegeven een aantal willekeurige punten, willen we die eerst spiegelen volgens de eerste bissectrice (y=x, hoek van 45°), de punten die we dan bekomen zullen we roteren onder een hoek van 72° in uurwerkzin en dan nog een schaalverandering toepassen van 3 eenheden op de x-as en 4 eenheden op de y-as.
    Geef de samengestelde matrix om die transformaties in één stap uit te voeren.
  2. Kortste Pad (Gegeven is een gemengde, gewogen graaf)
    1. Schrijf in scilab de methode floyd om de afstandmatrix en de P-matrix te berekenen. Schrijf ook de methode toonpad die het pad uitschrijft.
    2. Geef de kortste pad matrix en de P-matrix
    3. Welk pad heeft de langste afstand? Leg uit hoe je daar aan komt.
    4. Wat is het pad van deze maximale lengte? Leg uit hoe ge daar aan komt.
  3. Simplexmethode
    1. Schrijf in scilab de pivoteermethode en schrijf de code over.
    2. Gebruik nu deze code om volgend minimalisatieprobleem op te lossen:
      1. Gegeven een hoop vgl. en een minimalisatievgl. Geef het eerste tableau en vertel hoe je daartoe gekomen bent.
      2. Leg uit hoe je het eerste pivogetal bepaalt.
      3. Geef het eindtableau en geef aan welke waarden alle basisvariabelen en alle spelingsvariabelen hebben gekregen. Wat is het minimale punt?
      4. Controleer deze uitkomsten en toon aan dat het klopt.

Januari 2009

  1. Leg uitgebreid uit wat een random landschap is
  2. Geef de voordelen van één van deze methodes
  3. Geef de nadelen van één van deze methodes
  4. een oefening op simplexmethode ( algoritme maken + gebruiken in oefening )